题目

题型：广西自治区中考真题难度：来源：

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦．
（1）请你按下面步骤画图（画图或作辅助线时先使用铅笔画出，确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑）；
第一步，过点A作∠BAC的角平分线，交⊙O于点D；
第二步，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E．
第三步，连接BD．


（2）求证：AD²=AE×AB；
（3）连接EO，交AD于点F，若5AC=3AB，求的值．

答案

（1）解：如图；
（2）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，而DE⊥AC，∴∠AED=90°，
∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB，∴Rt△ADE∽Rt△ABD，
∴AD：AB=AE：AD，∴AD²=AE×AB；
（3）解：连OD、BC，它们交于点G，如图，
∵5AC=3AB，即AC：AB=3：5，∴不妨设AC=3x，AB=5x，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵∠CAD=∠DAB，∴DC=DB，
∴OD垂直平分BC，∴OD∥AE，OG=1 2 AC=3 2 x，∴四边形ECGD为矩形，
∴CE=DG=OD-OG=x-x =x，
∴AE=AC+CE=3x+x=4x，∵AE∥OD，∴△AEF∽△DOF，∴AE：OD=EF：OF，