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题目
题型:不详难度:来源:
如图,在半径为4的⊙O中,AB,CD是两条直径,M是OB的中点,CM的延长线交⊙O于点E,设DE=


a
(a>0)
,EM=x.
(1)用含x和a的代数式表示MC的长,并求证:x2-


64-a
•x+12=0

(2)当a=15,且EM>MC时,求sin∠EOM的值;
(3)根据图形写出EM的长的取值范围.试问:在弧DB上是否存在一点E,使EM的长是关于x的方x2-


64-a
•x+12=0
的相等实数根?如果存在,求出sin∠EOM的值;如果不存在,请说明理由.
答案
(1)∵CD是直径
∴∠CED=90度
在直角三角形CDE中,DE=


a
,CD=8
根据勾股定理,得CE=


64-a

∴MC=


64-a
-x
根据相交弦定理,得
AM•BM=CM•EM
即x(


64-a
-x)=6×2
x2-


64-a
•x+12=0


(2)当a=15时,根据(1)中的方程,有
x2-7x+12=0
解得x=3或x=4
又EM>MC,则
EM=4,MC=3
因为EM=EO=4,作EF⊥OB于F,则OF=1
根据勾股定理,得EF=


15

所以sin∠EOM=


15
4


(3)根据图形,显然2<x<6.
根据EM的长是关于x的方程x2-


64-a
•x+12=0
的相等实数根,则
△=64-a-48=0
∴a=16
把a=16代入方程,解得x=2


3

即EM=2


3

又∵OE=4,OM=2
∴sin∠EOM=


3
2
核心考点
试题【如图,在半径为4的⊙O中,AB,CD是两条直径,M是OB的中点,CM的延长线交⊙O于点E,设DE=a(a>0),EM=x.(1)用含x和a的代数式表示MC的长,】;主要考察你对圆的基本性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,AB是⊙O的一条弦,OD⊥AB,垂足为C,交⊙O于点D,点E在⊙O上.
(1)若∠AOD=52°,求∠DEB的度数;(2)若OC=3,AB=8,求⊙O直径的长.
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如图,CD是⊙O的直径,A为DC的延长线上一点,点E在⊙O上,∠EOD=81°,AE交⊙O于B,且AB=OC,求∠A的度数.
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如图,AB是⊙O的直径,点C、D、E都在⊙O上,若∠C=∠D=∠E,则∠A+∠B=______度.
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如图,AB为⊙O的直径,点C、D在⊙O上,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别为E,F,且弧AC与弧BD相等,问AE与BF相等吗?为什么?
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如图,AB是⊙O的直径,AB=AC,BC交⊙O于点D,AC交⊙O于点E,∠BAC=45°,给出下列五个结论:①∠EBC=22.5°;②BD=DC;③AE=2EC;④劣弧AE是劣孤DE的2倍;⑤AE=BC.其中正确结论的序号是______.
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