题目

题型：不详难度：来源：

以坐标原点为圆心，1为半径的圆分别交x，y轴的正半轴于点A，B.

（1）如图一，动点P从点A处出发，沿x轴向右匀速运动，与此同时，动点Q从点B处出发，沿圆周按顺时针方向匀速运动.若点Q的运动速度比点P的运动速度慢，经过1秒后点P运动到点(2,0)，此时PQ恰好是的切线，连接OQ.求的大小；
（2）若点Q按照（1）中的方向和速度继续运动，点P停留在点(2,0)处不动，求点Q再经过5秒后直线PQ被截得的弦长.

答案

（1）60°（2）

解析

（1）解：如图一，连结AQ．
由题意可知：OQ=OA=1.
∵OP=2,
∴A为OP的中点.
∵PQ与相切于点Q,
∴为直角三角形.              
∴ .         
即ΔOAQ为等边三角形.
∴∠QOP=60°．                    
（2）解：由（1）可知点Q运动1秒时经过的弧长所对的圆心角为30°，若Q按照（1）中的方向和速度
继续运动，那么再过5秒，则Q点落在与y轴负半轴的交点处（如图二）.
设直线PQ与的另外一个交点为D，过O作OC⊥QD于点C，则C为QD的中点.
∵∠QOP=90°，OQ=1，OP=2,
∴QP=.               
∵,
∴OC= .                        
∵OC⊥QD，OQ=1，OC=,
∴QC=.
∴QD=．
（1）利用切线性质定理，以及OQ与OP之间的关系，可得出∠QOP的度数
（2）关键是求出Q点的运动速度，利用垂径定理，勾股定理可以解决．