题目

题型：模拟题难度：来源：

如图所示，平面上一点P从点M 出发，沿射线OM方向以每秒1个单位长度的速度做匀速运动，在运动过程中，以OP为对角线的矩形OAPB的边长OA∶OB=，过点O且垂直于射线OM的直线l与点P同时出发，且与点P沿相同的方向、以相同的速度运动。
（1）在点P运动过程中，试判断AB与y轴的位置关系，并说明理由；
（2）设点P与直线l都运动了t秒，求此时的矩形OAPB与直线l在运动过程中所扫过区域的重叠部分的面积S（用含t的代数式表示）。

答案

解：（1）AB∥y轴，理由：
∵Rt△OAB中，tan∠ABO=OA∶OB=1∶
∴∠ABO=30°，
设AB交OP于点Q，交x轴于点S，
∵矩形的对角线互相平分且相等，则QO=QB，
∴∠QOB=30°，
过点M作MT上x轴于T，
则tan ∠MOT=，
∴∠MOT=30°，
∴∠BOS=60°，
∴∠BSO=90°，
∴AB//y轴；
（2）设l在运动过程中与射线OM交于点C，过点A且垂直于射线OM的直线交OM于点D，过点B且垂直于射线OM的直线交OM于点E，则OC=t，
∵OP=2+t，
∴OB=（2+t），OE=（2+t），OA=（2+t），OD=（2+t），
①当0＜t≤（2+t），
即0＜t≤时．S=
②当（2+t））＜t≤（2+t），
即＜t≤6时，设直线l交OB于F，
交PA于G，则OF=
∴AG=PA-；


 ③当t>（2+t） ，
即t>6时，
∵CP=2，
∴S=S_矩-（2+t）×（2+t）-
。