题目

题型：解答题难度：简单来源：不详

已知{a_n}是等差数列，d为公差且不为0，a₁和d均为实数，它的前n项和记作S_n,设集合A={(a_n,)|n∈N^*},B={(x,y)| x²－y²=1,x,y∈R}.

试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明
(1)若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；
(2)A∩B至多有一个元素；
(3)当a₁≠0时，一定有A∩B≠.

答案

(1) 正确(2) 正确(3) 不正确

解析

(1)正确.在等差数列{a_n}中，S_n=,则(a₁+a_n),这表明点(a_n,）的
坐标适合方程y(x+a₁),于是点(a_n, )均在直线y=x+a₁上
(2)正确设(x,y)∈A∩B,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组的解，由方程组消去y得：2a₁x+a₁²=－4(^*)，当a₁=0时，方程(^*)无解，此时A∩B=；当a₁≠0时，方程(^*)只有一个解x=,此时，方程组也只有一解,故上述方程组至多有一解
∴A∩B至多有一个元素
(3）不正确.取a₁=1,d=1,对一切的x∈N^*,有a_n=a₁+(n－1)d=n>0, >0,这时集合A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a₁=1≠0如果A∩B≠,那么据(2）的结论，A∩B中至多有一个元素(x₀,y₀）,而x₀=＜0,y₀=＜0,这样的(x₀,y₀）A,产生矛盾，故a₁=1,d=1时A∩B=，所以a₁≠0时，一定有A∩B≠是不正确的.