题目

题型：江苏中考真题难度：来源：

如图①，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，D、E两点分别在AC、BC上，且DE∥AB，CD=2，将△CDE绕点C顺时针旋转，得到△CD"E"（如图②，点D"、E"分别与点D、E对应），点E"在AB上，D"E"与AC相交于点M。
（1）求∠ACE"的度数；
（2）求证：四边形ABCD"是梯形；
（3）求△AD"M的面积。

答案

解：（1）如图1，∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵DE∥AB，
∴∠DEC=∠DCE=45°，∠EDC=90°，
∴DE=CD=2，
∴CE=CE′=4，
如图2，在Rt△ACE中，∠E′AC=90°，AC=2，CE′=4，
∴cos∠ACE′=，
∴∠ACE′=30°；
（2）如图2，∠D′CE′=∠ACB=45°，∠ACE′=30°，
∴∠D′CA=∠E′CB=15°，
又，
∴△D′CA∽△E′CB，
∴∠D′AC=∠B=45°，
∴∠ACB=∠D′AC，
∴AD′∥BC，
∵∠B=45°，∠D′CB=60°，
∴∠ABC与∠D′CB不互补，
∴AB与D′C不平行，
∴四边形ABCD′是梯形；
（3）在图②中，过点C作CF⊥AD′，垂足为F，
∵AD′∥BC，
∴CF⊥BC，
∴∠FCD′=∠ACF-∠ACD′=30°，
在Rt△ACF中，AF=CF=，
∴S_△ACF=3，
在Rt△D′CF中，CD′=2，∠FCD′=30°，
∴D′F=，
∴S_△D′CF=3，
同理，S_Rt△AE′C=2，S_{Rt△D′E′C}=4，
∵∠AME′=∠D′MC，∠E′AM=∠CD′M，
∴△AME′∽△D′MC，
，
∴
∵

（3）-（2），得，
由（1），得，
∴，
∴的面积是。