题目

题型：不详难度：来源：

如图（1），AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G，且AB∥CD，若，

小题1:求BC和OF的长；
小题2:求证：三点共线；
小题3:小叶从第（1）小题的计算中发现：等式成立，于是她得到这样的结论：如图（2），在中，，，垂足为，设，，则有等式成立．请你判断小叶的结论是否正确，若正确，请给予证明，若不正确，请说明理由.  

答案

小题1:BC=10，OF=4.8。
小题2:见解析
小题3:见解析

解析

（1）解：（第1小问共6分，若有其他方法，请酌情给分）
∵AB∥CD
∴∠ABC+∠BCD=180°---------------1分
又∵AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G
∴BO，CO分别平分∠ABC，∠BCD---------------2分
∴∠OBC+∠OCB=90°---------------3分
又∵在Rt△ABC中，∠BOC=90°，OB=6，OC=8
∴---------------4分
∴---------------5分
即：10×OF=6×8
∴OF=4.8---------------6分
（2）（第2小问共4分）
证法一：连接OE，OG---------------1分
∵BO分别平分∠ABC

∴∠EBO=∠FBO
又∵AB，BC分别与⊙O相切于点E，F
∴∠BEO=∠BFO=90°
∴∠BOE=∠BOF---------------2分
同理：∠COG=∠COF
∵∠OBC+∠OCB=90°--------------3分
∴∠EOG=∠EOB+∠BOF+∠COF+∠COG=180°---------------4分
∴三点共线
证法二：连接OE，OG---------------1分
∵AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G
∴∠BFO=∠BEO=∠OGC=90°
∴在四边形OEBF中，∠EBF+∠EOF=180°---------------2分
同理：∠GCF+∠GOF=180°
∴∠EBF+∠EOF+∠GCF+∠GOF=360°
又∵AB∥CD
∴∠EBF+∠GCF=180°---------------3分
∴∠EOF+∠GOF=180°
即：三点共线---------------4分
（3）（第3小问共4分，若有其他方法，请酌情给分）
等式成立．理由如下：---------------1分
证法一：∵， ，∠A为公共角
∴△ACD∽△ABC

∴     ---------------2分
∴     
∴                                 
同理，
   ---------------3分
∴
∴          ---------------4分
证法二：tan∠CAB=---------------2分
∴---------------3分
∴   ∴
∴     ---------------4分                                            
证法三∵
∴    ---------------2分
∴，   ∴
∴---------------3分
∴
∴
∴
∴