题目
题型:福建省中考真题难度:来源:
(1)特殊发现:如图1,若点E、F分别是边DC、CB的中点,求证:菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心;
(2)若点E、F始终分别在边DC、CB上移动,记等边△AEF的外心为点P,
①猜想验证:如图2,猜想△AEF的外心P落在哪一直线上,并加以证明;
②拓展运用:如图3,当△AEF面积最小时,过点P任作一直线分别交边DA于点M,交边DC的延长线于点N,试判断是否为定值,若是,请求出该定值;若不是,请说明理由。
答案
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD,BD平分∠ADC,AO=DC=BC
∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°,
∠ADO=∠ADC=×60°=30°
又∵E、F分别为DC、CB中点
∴OE=CD,OF=BC,AO=AD
∴0E=OF=OA
∴点O即为△AEF的外心;
图1
证明:如图2,分别连接PE、PA,
过点P分别作PI⊥CD于I,P J⊥AD于J
∴∠PIE=∠PJD=90°,
∵∠ADC=60°
∴∠IPJ=360°-∠PIE-∠PJD-∠JDI=120°
∵点P是等边△AEF的外心,
∴∠EPA=120°,PE=PA,
∴∠IPJ=∠EPA,
∴∠IPE=∠JPA
∴△PIE≌△PJA,
∴PI=PJ
∴点P在∠ADC的平分线上,即点P落在直线DB上。
②为定值2,
当AE⊥DC时,△AEF面积最小,此时点E、F分别为DC、CB中点,
连接BD、AC交于点P,由(1)可得点P即为△AEF的外心,如图3,设MN交BC于点G 设DM=x,DN=y(x≠0.y≠0),则CN=y-1
∵BC∥DA
∴△GBP∽△MDP
∴BG=DM=x
∴
∵BC∥DA,
∴△GBP∽△NDM
∴,
∴
∴
∴,即。
核心考点
试题【已知菱形ABCD的边长为1,∠ADC=60°,等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F。(1)特殊发现:如图1,若点E、F分别是边DC、CB的中点,求证:菱】;主要考察你对相似三角形性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
B.60,2
C.60,
D.60,
(1)指出四边形PEAM的形状(不需证明);
(2)记∠EPM=α,△AOM、△AMN的面积分别为S1、S2。
① 求证:PA2;
② 设AN=x,y=,试求出以x为自变量的函数y的解析式,并确定y的取值范围。
(2)连结AC,若PQ∥AC,求线段BQ的长(用含m的代数式表示)
(3)若△PQD为等腰三角形,求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式,并写出m的取值范围。
(1)直接写出点A,B的坐标,并求直线AB与CD交点的坐标;
(2)动点P从点C出发,沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动;同时,动点M从点A出发,沿线段AB以每秒个单位长度的速度向终点B运动,过点P作PH⊥OA,垂足为H,连接MP,MH,设点P的运动时间为t秒。
①若△MPH与矩形AOCD重合部分的面积为1,求t的值;
②点Q是点B关于点A的对称点,问BP+PH+HQ是否有最小值,如果有,求出相应的点P的坐标;如果没有,请说明理由。
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