题目

题型：河北省中考真题难度：来源：

在图1至图3中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1=∠2=45°。
（1）如图1，若AO=OB，请写出AO与BD的数量关系和位置关系；
（2）将图1中的MN绕点O顺时针旋转得到图2，其中AO=OB。
求证：AC=BD，AC⊥BD；
（3）将图2中的OB拉长为AO的k倍得到图3，求的值。

答案

解：（1）AO=BD，AO⊥BD；
（2）证明：如图4，过点B作BE∥CA交DO于E，
∴∠ACO=∠BEO
又∵AO=OB，∠AOC=∠BOE，
∴△AOC≌△BOE，
∴AC=BE，
又∵∠1=45°，
∴∠ACO=∠BEO=135°，
∴∠DEB=45°，
∵∠2=45°，
∴BE=BD，∠EBD=90°，
∴AC=BD，
延长AC交DB的延长线于F，如图4，
∵BE∥AC，
∴∠AFD=90°，
∴AC⊥BD；
（3）如图5，过点B作BE∥CA交DO于E，
∴∠BEO=∠ACO，
又∵∠BOE=∠AOC，
∴△BOE∽△AOC，
∴，
又∵OB=kAO，
由（2）的方法易得BE=BD，
∴。