如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CF//AB，P为AD上一点，延长BP交AC于E，交CF于F，证明： =PE·PF. - 初中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CF//AB，P为AD上一点，延长BP交AC于E，交CF于F，证明：

=PE·PF.

答案

解：连接PC，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，∠ABC＝∠ACB．
∴BP＝CP.  ∴∠PBD＝∠PCD．
∴∠ABC＝∠PBD＝∠ACB－∠PCD,  即∠ABP＝∠ACP．
∵CF//AB，∴∠ABP＝∠F，∴∠ACP＝∠F.
又∵∠CPF＝∠CPE，∴△CPF∽△EPC．∴

＝

.
即

＝PF· PE.∵BP＝CP,
∴

＝PE· PF.

核心考点

试题【如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CF//AB，P为AD上一点，延长BP交AC于E，交CF于F，证明： =PE·PF. 】；主要考察你对相似三角形性质等知识点的理解。[详细]

举一反三

如图，△ABC中，DE∥BC，DE分别交边AB、AC于D、E两点，若AD：AB=1：3，则△ADE与△ABC的面积比为（）

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如图，有一边长为5 cm的正方形ABCD和等腰△PQR，PQ=PR=5 cm，QR=8 cm，点B、C、Q、R在同一条直线上，当C、Q两点重合时，等腰三角形PQR以1 cm/s的速度沿直线l按箭头所示方向正式开始匀速运动，t s后正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面积为S cm

.   解答下列问题：
(1) 当t=3 s时，求S的值；
(2) 当t=5 s时，求S的值；
(3) 当5s≤t≤8s，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值．

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如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC= 90°，AD=BD，AC与BD相交于点E，AC⊥BD，过点E作EF∥AB，交AD于点F．

(1)证明：AF=BE;
(2) AF²与AE·EC有怎样的数量关系？为什么？

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如图，在△ABC中，AB=5，BC=3 ，AC=4，动点E(与点A，C不重合)在AC边上，EF∥AB交BC于F点．
(1) 当△ECF的面积与四边形EABF的面积相等时，求CE的长；
(2) 当△ECF的周长与四边形EABF的周长相等时，求CE的长.

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如图，用下面的方法可以画△AOB的“内接等边三角形”，阅读后证明相应的问题．  画法：
①在△AOB内画等边三角形CDE，使点C在OA上，点D在OB上；
②连接OE并延长，与AB交于点E"，过点E"作E"C"∥EC，交OA于点C"，作E"D"∥E"D，交OB于点D";
③连接C"D",则△C"D"E"是△AOB的内接三角形．  请你判断△CD"E"是否是等边三角形，并说明理由，

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