题目

题型：四川省中考真题难度：来源：

如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G．
（1）求证：AE·FD=AF·EC；
（2）求证：FC=FB；
（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径r的长．

答案

（1）证明：∵BD是⊙O的切线，
∴∠DBA=90°，
∵CH⊥AB，
∴CH∥BD，
∴△AEC∽△AFD，
∴=，
∴AE·FD=AF·EC；
（2）证明：∵CH∥BD，
∴△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，
∴==，
∵CE=EH（E为CH中点），
∴BF=DF，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=∠DCB=90°，
∴CF=DF=BF，
即CF=BF；
（3）解：∵BF=CF=DF（已证），EF=BF=2，
∴EF=FC，
∴∠FCE=∠FEC，
∵∠AHE=∠CHG=90°，
∴∠FAH+∠AEH=90°，∠G+∠GCH=90°，
∵∠AEH=∠CEF，
∴∠G=∠FAG，
∴AF=FG，
∵FB⊥AG，
∴AB=BG，
连接OC，BC，
∵BF切⊙O于B，
∴∠FBC=∠CAB，
∵OC=OA，CF=BF，
∴∠FCB=∠FBC，∠OCA=∠OAC，
∴∠FCB=∠CAB，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90°，
∴∠FCB+∠BCO=90°，即OC⊥CG，
∴CG是⊙O切线，
∵GBA是⊙O割线，
FB=FE=2，
由切割线定理得：（2+FG）²=BG×AG=2BG²，
在Rt△BFG中，由勾股定理得：BG²=FG²﹣BF²，
∴FG²﹣4FG﹣12=0，
解得：FG=6，FG=﹣2（舍去），
由勾股定理得：AG=BG==4，
∴⊙O的半径是2．