题目

题型：湖北省期中题难度：来源：

如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，点P在直线BD上，由B点到D点移动。
（1）当P点移动到离B点多远时，△ABP∽△PDC；
（2）当P点移动到离B多远时，∠APC=90°？

答案

解：（1）由AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，
设BP=xcm，则PD=（14﹣x）cm，
若△ABP∽△PDC，
∴=，
即=，
变形得：14x﹣x²=24，
即x²﹣14x+24=0，
因式分解得：（x﹣2）（x﹣12）=0，
解得：x₁=2，x₂=12，
∴BP=2cm或12cm时，△ABP∽△PDC；
若△ABP∽△CDP，=，即=，
解得：x=8.4，
∴BP=8.4cm，
综上，BP=2cm或12cm或8.4cm时，△ABP∽△PDC；
（2）若∠APC=90°，则∠APB+∠CPD=90°，
又AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴∠A+∠APB=90°，
∴∠A=∠CPD，
∴△ABP∽△PDC，
由（1）得此时BP=2cm或12cm，则当BP=2cm或12cm时，∠APC=90°。