解：（1）对于任何时刻t，AP=2t，DQ=t，QA=6﹣t．
当QA=AP时，△QAP为等腰直角三角形，即：6﹣t=2t，解得：t=2（s），
所以，当t=2s时，△QAP为等腰直角三角形．
（2）在△QAC中，QA=6﹣t，QA边上的高DC=12，
∴S_△QAC=QA×DC=（6﹣t）12=36﹣6t．
在△APC中，AP=2t，BC=6，
∴S_△APC=AP×BC=2t6=6t．
∴S_{四边形QAPC}=S_△QAC+S_△APC=（36﹣6t）+6t=36（cm²）．
由计算结果发现：在P、Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变．（也可提出：P、Q两点到对角线AC的距离之和保持不变）
（3）根据题意，可分为两种情况来研究，
在矩形ABCD中：
①当=时，△QAP∽△ABC，那么有：=，解得t==1.2（s），
②当=时，△PAQ∽△ABC，那么有：=，解得t=3（s），
所以，当t=1.2s或3s时，
以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．