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题目
题型:不详难度:来源:
(本小题满分7分)
已知:等边三角形ABC
如图1,P为等边△ABC外一点,且∠BPC=120°.
试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系,并证明你的猜想;

(2)如图2,P为等边△ABC内一点,且∠APD=120°.求证:PA+PD+PC>BD

答案
猜想:AP="BP+PC                " ------------------------------1分
(1)证明:延长BP至E,使PE=PC,联结CE
∵∠BPC=120°
∴∠CPE=60°,又PE=PC
∴△CPE为等边三角形
∴CP=PE=CE,∠PCE=60°
∵△ABC为等边三角形
∴AC=BC,∠BCA=60°
∴∠ACB=∠PCE,
∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP
即:∠ACP=∠BCE
∴△ACP≌△BCE
∴AP=BE-------------------------2分
∵BE=BP+PE
∴AP="BP+PC" --------------------------------------------- 3分
(2)方法一:
在AD外侧作等边△AB′D     --------------------- 4分
则点P在三角形ADB′外
   ∵∠APD=120°∴由(1)得PB′=AP+PD
在△PB′C中,有PB′+PC>CB′, 
∴PA+PD+PC>CB′      ------------------------------------ 5分
∵△AB′D、△ABC是等边三角形
∴AC=AB,AB′=AD,
∠BAC=∠DA B′=60°
∴∠BAC+∠CAD=∠DAB′+∠CAD
即:∠BAD=∠CAB′
∴△AB′C≌△ADB  
∴C B′="BD         " -------------------------------------- 6分
∴PA+PD+PC>BD    ----------------------------------- 7分
方法二:延长DP到M使PM=PA,联结AM、BM
∵∠APD=120°,
∴△APM是等边三角形, -----------------------------4分
∴AM=AP,∠PAM=60°
∴DM="PD+PA         " ------------------------------5分
∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC,∠BAC=60°
∴△AMB≌△APC
∴BM="PC          " -------------------------------------------6分
在△BDM中,有DM + BM>BD, 
∴PA+PD+PC>BD      ----------------------------------------
解析

核心考点
试题【(本小题满分7分)已知:等边三角形ABC如图1,P为等边△ABC外一点,且∠BPC=120°.试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系,并证明你的猜想;(2)如】;主要考察你对相似图形性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知:如图,中,相交于点.求证:
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在△中,边上的高.将△按如图所示的方式折叠,使点与点重合,折痕为,则△的周长为
A.B.C.D.

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如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,取斜边的中点,向斜边作垂线,画出一个新的等腰三角形,如此继续下去,直到所画出的直角三角形的斜边与△ABC的BC重叠,这时这个三角形的斜边为
A.B.C.D.

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若等腰三角形的一个外角为,则它的底角为           °
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(本题10分)如图所示,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,
点D在⊙O 上,过点C的切线交AD的延长线于点E,且AE⊥CE,
连接CD.
(1)求证:DC=BC;若AB=10,AC=8,求tan∠DCE的值.

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