题目

题型：不详难度：来源：

知识背景:杭州留下有一处野生古杨梅群落,其野生杨梅是一种具特殊价值的绿色食品.在当地市场出售时,基地要求“杨梅”用双层上盖的长方体纸箱封装(上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍,如图)

（1）实际运用:如果要求纸箱的高为0.5米,底面是黄金矩形(宽与长的比是黄金比,取黄金比为0.6),体积为0.3立方米.
①按方案1(如图)做一个纸箱,需要矩形硬纸板的面积是多少平方米？
②小明认为,如果从节省材料的角度考虑,采用方案2(如图)的菱形硬纸板做一个纸箱比方案1更优,你认为呢？请说明理由.
（2）拓展思维:城西一家水果商打算在基地购进一批“野生杨梅”,但他感觉（1）中的纸箱体积太大,搬运吃力,要求将纸箱的底面周长、底面面积和高都设计为原来的一半,你认为水果商的要求能办到吗？请利用函数图象验证.

答案

解:（1）设纸箱底面的长为x,则宽为0.6x,
根据题意得,0.6x²×0.5＝0.3,即x＝1.
①＝(1＋0.5×4)×(0.6×2＋0.5×2)＝6.6(平方米).
②如图,连接A₂C₂,B₂D₂相交于O₂,
设△D₂EH中EH边上的高为h₁,
△A₂NM中NM边上的高为h₂,
由△D₂EH∽△D₂MQ得
,∴h₁＝0.4,
同理得,h₂＝,
∴A₂C₂＝,B₂D₂＝3,
又四边形A₂B₂C₂D₂是菱形.
故＝5.625(平方米)
＜,
所以方案2更优.
（2）水果商的要求不能办到.
设底面的长与宽分别为x、y,
则x＋y＝0.8,xy＝0.3,
即y＝0.8－和y＝,其图象如图所示.
因为两个函数图象无交点,故水果商的要求无法办到.(说明:不画图象,由方程的判别式判断,不给满分)

解析

（1）①利用宽与长的比是黄金比，取黄金比为0.6，假设底面长为x，宽就为0.6x，再利用图形得出QM=+0.5+1+0.5+=3，FH=0.3+0.5+0.6+0.5+0.3=2.2，进而求出即可；
②根据菱形的性质得出，对角线乘积的一半绝对小于矩形边长乘积即可得出答案；
（2）根据相似三角形的性质面积比等于相似比的平方得出即可