题目

题型：不详难度：来源：

如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠1=∠B=∠C．

（1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）
答：结论一：        ；结论二：         ；结论三：          ．
（2）若∠B=45°，BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），
①求CE的最大值；
②若△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）

答案

（1）AB=AC；∠AED=∠ADC；△ADE∽△ACD；（2）①；②1或2－.

解析

试题分析：（1）根据平面图形的基本性质结合图形特征即可得到结果；
（2）①先证得△ACB为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形可求得AC的长，证得△ADE∽△ACD，根据相似三角形的性质可得到，再根据垂线段最短的性质求解即可；
②分当AD=AE时，当EA=ED时，当DA=DE时，这三种情况，根据等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、相似三角形的性质求解即可.
（1）AB=AC；∠AED=∠ADC；△ADE∽△ACD；
（2）①∵∠B=∠C，∠B=45°，
∴△ACB为等腰直角三角形。
∴。
∵∠1=∠C，∠DAE=∠CAD，
∴△ADE∽△ACD。
∴AD：AC=AE：AD，
∴ 
当AD最小时， AE最小，此时AD⊥BC（直线外一点与直线上所有点的连线段中垂线段最短），AD=BC=1。
∴AE的最小值为
∴CE的最大值=；
②当AD=AE时，
∴∠1=∠AED=45°
∴∠DAE=90°
∴点D与B重合，不合题意舍去
当EA=ED时，如图1

∴∠EAD=∠1=45°
∴AD平分∠BAC
∴AD垂直平分BC
∴BD=1。
当DA=DE时，如图2

∵△ADE∽△ACD
∴DA：AC=DE：DC
∴DC=CA=
∴BD=BC－DC=2－
综上所述，当△ADE是等腰三角形时，BD的长的长为1或2－.
点评：此类问题综合性强，难度较大，是中考常见题，一般以压轴题形式出现，要特别注意.