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题目
题型:不详难度:来源:
已知矩形OABC的顶点O(0,0)、A(4,0)、B(4,-3).动点P从O出发,以每秒1个单位的速度,沿射线OB方向运动.设运动时间为t秒.
(1)求P点的坐标(用含t的代数式表示);
(2)如图,以P为一顶点的正方形PQMN的边长为2,且边PQ⊥y轴.设正方形PQMN与矩形OABC的公共部分面积为S,当正方形PQMN与矩形OABC无公共部分时,运动停止.
①当t<4时,求S与t之间的函数关系式;
②当t>4时,设直线MQ、MN分别交矩形OABC的边BC、AB于D、E,问:是否存在这样的t,使得△PDE为直角三角形?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.

答案
(1)(,-);(2)①当0<t≤时,S=×=t2 ;当<t≤时,S=2×= ;当<t<4时,S=4;②t=5或.
解析

试题分析:(1)设PN与x轴交于点D,先由矩形的性质得出∠OAB=90°,在Rt△OAB中运用勾股定理求出OB=5,再由PD∥AB,得到△OPD∽△OBA,根据相似三角形对应边成比例得出OD=,PD=,即可确定P点的坐标;
(2)①分三种情况进行讨论:(i)当0<t≤时,设PQ与y轴交于点E,则S=S矩形ODPE=OD•PD;(ii)当<t≤时,设PN与x轴交于点D,QM与x轴交于点F,则S=S矩形PQFD=PQ•PD;(iii)当<t<4时,S=S正方形PQMN;
②分三种情况进行讨论:(i)当4<t≤5时,根据三角形外角的性质得出∠DPE>∠DBE=90°,则△PDE不可能为直角三角形;(ii)当t=5时,∠DPE=∠DBE=90°,此时,△PDE为直角三角形;(iii)当t>5时,由于∠DPE<∠DBE=90°,则当△PDE为直角三角形时,可能∠PDE=90°或者∠PED=90°.若∠PDE=90°,根据两角对应相等的两三角形相似得出△PQD∽△DME,得出PQ:DQ=DM:ME,列出关于t的方程,解方程即可;若∠PED=90°,则△PNE∽△EMD,根据两角对应相等的两三角形相似得出△PQD∽△DME,得出PQ:DQ=DM:ME,列出关于t的方程,解方程即可.
试题解析:(1)P(,-
(2)①当0<t≤时,S=×=t2
<t≤时,S=2×= 
<t<4时,S=4
②当QM运动到AB位置时,恰好无公共部分,<4+2,即t<.
(ⅰ)当4<t<5时,∠DPE>∠DBE=90º,△PDE不可能为直角三角形
(ⅱ)当t=5时,∠DPE=∠DBE=90º,此时△PDE是直角三角形
(ⅲ)当5<t<时,∠DPE<90º,还有两种可能,∠PDE=90º或∠PED=90º.
若∠PDE=90º,则,可得,整理得9t2-160t+675=0,
解得,应取
若∠PED=90º,则,可得,整理得8t2-115t+425=0,
注意到△<0,该方程无实数解(10分)
综上所述,符合条件的t的值有两个,t=5或.
核心考点
试题【已知矩形OABC的顶点O(0,0)、A(4,0)、B(4,-3).动点P从O出发,以每秒1个单位的速度,沿射线OB方向运动.设运动时间为t秒.(1)求P点的坐标】;主要考察你对相似图形等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,在矩形ABCD中,AB=10,AD=4,点P是边AB上一点,若△APD与△BPC相似,则满足条件的点P有   个.

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平面直角坐标中,已知点O(0,0),A(0,2),B(1,0),点P是反比例函数y=﹣图象上的一个动点,过点P作PQ⊥x轴,垂足为Q.若以点O、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似,则相应的点P共有(  )
A.1个B.2个C.3个D.4个

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直线l1∥l2∥l3,且l1与l2的距离为1,l2与l3的距离为3,把一块含有45°角的直角三角形如图放置,顶点A,B,C恰好分别落在三条直线上,AC与直线l2交于点D,则线段BD的长度为(  )
A.B.C.D.

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如图,△ABC中,A、B两个顶点在x轴的上方,点C的坐标是(﹣1,0).以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C,并把△ABC的边长放大到原来的2倍.设点B的对应点B′的横坐标是a,则点B的横坐标是(  )

A.        B.       C.       D.
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如图,在▱ABCD中,AB=6,AD=9,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,BG⊥AE,垂足为G,若BG=,则△CEF的面积是(  )
A.B.C.D.

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