题目

题型：江苏期末题难度：来源：

△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，抛物线y=x²-2ax+b²交x轴于两点M，N，交y轴于点P，其中M的坐标是（a+c，0）。
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若S_△MNP=3S_△NOP，
①求sinB的值；
②若D为抛物线的顶点，判断△ABC的三边长能否取一组适当的值，使△MND是等腰直角三角形？如能，请求出这组值；如不能，请说明理由。

答案

解：（1）证明：∵抛物线y=x²-2ax+b²经过点M（a+c，0），
∴，
∴，
∴，由勾股定理的逆定理得：△ABC为直角三角形且∠A=90°；

（2）解：①如图所示；
∵，
∴MN=3ON即MO=4ON，
又，∴，
∴a+c，是方程的两根，
∴，
∴，
由（1）知：在△ABC中，∠A=90°，
由勾股定理得，∴sinB=，
②能
由（1）知，
∴顶点D，
过D作DE⊥x轴于点则NE=EMDN=DM，
要使△MND为等腰直角三角形，只须ED=MN=EM，
∵，
∴，
∴又c>0，∴c=1，
由于c=a，b=，∴a=，b=，
∴当时，△MNP为等腰直角三角形。