题目

题型：期中题难度：来源：

如图(1)，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合)，在AD上适当移动三角板顶点P：
（1）能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由．
（2）再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH 始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2cm？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由．

答案

（1）设两直角边PH，PF能分别通过点B与点C，
∵∠HPF=90°，∴PB²+PC²=BC²=100
又设PA=x，∵∠A=∠D=90°，在△ABP，△PDC中
∴PA²+AB²=PB²，PD²+CD²=PC²
∵PA+PD=AD=10，AB=CD=4
∴x²+16+(10-x)²+16=PB²+PC²=100
化简得:x²-10x+16=0
解之得:x₁=2，x₂=8
∵2<10，8<10
∴当PA=2cm或8cm时，三角板两直角边PH，PF分别通过点B，C.
（2）如图（2），过点E作EG⊥AD于点G，∴∠PGE=90°
根据题意得：DG=CE=2，EG=CD=4
∵BE+CE=BC=10
∴BC=8
在△PBE中，∵∠BPE=90° ∴PB²+PE²=BE²=64
又∵∠A=∠D=90° ∴AP²+AB²=PB²，PG²+PG²+EG²=PE²
而AB=EG=4，设AP=X，则PG=8-x
∴x²+16+(8-x)²+16=64 化简得:x²-8x+16=0
解之得:x₁=x₂=4
答：当AP=4时，PH经过点B，PF与BC交于点E，且CE=2cm.