题目

题型：福建省月考题难度：来源：

请阅读下列材料：
问题：如图（1），一圆柱的底面半径、高均为5dcm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线：
路线1：侧面展开图中的线段AC，如下图（2）所示：
设路线1的长度为l₁，则l₁²=AC²=AB²+BC²=5²+（5π）²=25+25π²
路线2：高线AB+底面直径BC，如上图（1）所示：
设路线2的长度为l₂，则l₂²=（AB+BC）²=（5+10）²=225
∴l₁²-l₂²=25+25π²-225=25π²-200=25（π²-8）＞0
∴l₁²＞l₂²
∴l₁＞l₂
所以要选择路线2较短。
（1）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1dcm，高AB为5dcm”继续按前面的路线进行计算．请你帮小明完成下面的计算：
路线1：l₁²=AC²=________；
路线2：l₂²=（AB+BC）²=_______
∵l₁²______l₂²
∴l₁_____l₂（填＞或＜）,
∴选择路线____（填1或2）较短；
（2）请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r，高为h时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短。

答案

解：（1）路线1：l₁²=AC²=25+π²；
路线2：l₂²=（AB+BC）²=49，
∵l₁²＜l₂²，
∴l₁＜l₂，
∴选择路线1较短；
（2）l₁²=AC²=AB²+BC²=h²+（πr）²，
l₂²=（AB+BC）²=（h+2r）²，
l₁²-l₂²=h₂+（πr）²-（h+2r）²=r（π²r-4r-4h）=r[（π²-4）r-4h]；
r恒大于0，只需看后面的式子即可，
当时，l₁²=l₂²；
当r＞时，l₁²＞l₂²；
当r＜时，l₁²＜l₂²。