题目

题型：山东省中考真题难度：来源：

在□ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连接EG、GF、FH、HE。
（1）如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；
（2）如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是______；
（3）如图③，在（2）的条件下，若AC=BD，四边形EGFH的形状是______；
（4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由。

答案

解：（1）四边形EGFH是平行四边形
证明：∵ABCD的对角线AC、BD交于点O
∴点O是ABCD的对称中心
∴EO=FO，GO=HO
∴四边形EGFH是平行四边形。
（2）菱形；
（3）菱形；
（4）四边形EGFH是正方形.
证明：∵AC=BD，
∴ABCD是矩形
又∵AC⊥BD，
∴ABCD是菱形
∴ABCD是正方形，
∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°，OB=OC
∵EF⊥GH ，
∴∠GOF=90°
∴∠BOG=∠COF
∴△BOG≌△COF
∴OG=OF，
∴GH=EF
由（1）知四边形EGFH是平行四边形，
又∵EF⊥GH，EF=GH
∴四边形EGFH是正方形。