题目

题型：福建省中考真题难度：来源：

已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O.现给出四个条件： ①AC⊥BD；②AC平分对角线BD；③AD∥BC；④∠OAD=∠ODA。请你以其中的三个条件作为命题的题设，以“四边形ABCD为菱形”作为命题的结论。
（1）写出一个真命题，并证明；
（2）写出一个假命题，并举出一个反例说明。

答案

解：（1）如：若AC⊥BD，AC平分线段BD，AD∥BC，则四边形ABCD是菱形。
证明：如图，设AC与BD交于上点O。
∵AC平分BD
∴BO=DO
又AC⊥BD
∴△ABO≌△ADO
∴AB=AD，∠ABD=∠ADB
同理可知BC=CD
∵AD∥BC
∴∠ADB=∠DBC
∴∠ABO=∠CBO
∴△ABO≌△CBO
∴AB=BC
∴AB=BC=CD=AD
∴四边形ABCD是菱形。（答案不唯一）（2）如：若AC平分BD，AD∥BC，∠OAD=∠ODA，则四边形ABCD是菱形
反例：如图，四边形ABCD为矩形。（答案不唯一）