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题目
题型:同步题难度:来源:
已知,矩形ABCD 中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF 分别交AD、BC于点E、F,垂足为O。
(1)如图1,连接AF、CE,求证四边形AFCE为菱形,并求AF的长;    
(2)如图2,动点P、Q分别从A、C两点同时出发,沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周,即点P自A→F→B→A停止,点Q自C→D→E→C停止,在运动过程中:    
①已知点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒,当A、C、P、Q四点为顶点的四边是平行四边形时,求t的值;
③若点P、Q的运动路程分别为a、b(单位:cm,ab≠0),已知 A、C、P、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形,求a与b 满足的数量关系式.
答案

解:(1)证明:
①∵四边形ABCD是矩形,   
∴AD//BC.     
∴∠CAD=∠ACB,  ∠AEF=∠CFE,    
∵EF垂直平分AC,垂足为O,  
∴OA=OC,    
∴△AOE全等△COF,    
∴OE= OF,    
∴四边形AFCE为平行四边形,    
又∵EF⊥AC,    
∴四边形AFCE为菱形.   
 ②设菱形的边长AF=CF=xcm,则BF=(8-x)cm,    
在Rt△ABF中,AB=4cm,    
由勾股定理得:42+ (8-x)2 =x2
解得:x=5
∴ AF=5 cm-    
(2)①显然当P点在AF上时,Q点在CD上
此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形;
同理P点在AB上时,Q点在DE或CE上,也不能构成平行四边形
因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时,才能构成平行四边形。
∴以 A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时.PC=QA.     
∵点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t 秒,  
 ∴PC=5t ,QA= 12-4t.  
∴5t= 12-4t,
解得:
∴以 A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时
   
 ②由题意得,以 A、C、P、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时,点 P、Q在互相平行的对应边上,分三种情况:   
i)如图1,当P点在AF 上、Q点在CE上时.AP= CQ,即a= 12 - b ,得a + b= 12.  
ii)如图2,当P点在BF 上、Q点在DE上时.AQ= CP,即12 - b= a , 得a+ b= 12.   
iii)如图3,当P点在AB 上、Q点在CD上时.AP= CQ,即12-a--=b,得 a+b=12.    
综上所述,a 与b 满足的数量关系式是a十b=12(ab≠0).

核心考点
试题【已知,矩形ABCD 中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF 分别交AD、BC于点E、F,垂足为O。(1)如图1,连接AF、CE,求证四边形AFCE】;主要考察你对菱形等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,菱形OABC中,∠A =120°,OA =1,将菱形OABC绕点0按顺时针旋转90°,则图中由围成的阴影部分的面积是(    ).
题型:专项题难度:| 查看答案
已知菱形的周长为9.6cm,两个邻角的比是1:2,这个菱形较短的对角线的长是[     ]
A.2.1cm
B.2.2cm
C.2.3cm
D.2.4cm
题型:四川省期中题难度:| 查看答案
如图,在△ABC中,D为BC边上的一动点(D点不与B、C两点重合).DE∥AC交AB于E点,DF∥AB交AC于F点.
(1)试探索AD满足什么条件时,四边形AEDF为菱形,并说明理由;
(2)在(1)的条件下△ABC满足什么条件时,四边形AEDF为正方形.为什么?
(3)在(1)、(2)的条件下当BE+CF=时,求证:AD=BD×CD.
题型:四川省期中题难度:| 查看答案
若菱形的边长为4,其中的一个锐角为60°.则这个菱形中较长的对角线为(    ).
题型:黑龙江省期末题难度:| 查看答案
如图,菱形AB1C1D1的边长为1,∠B1=60°;作AD2⊥B1C1于点D2,以AD2为一边,做第二个菱形AB2C2D2,使∠B2=60°;作AD3⊥B2C2于点D3,以AD3为一边做第三个菱形AB3C3D3,使∠B3=60°…依此类推,这样做的第n个菱形ABnCnDn的边ADn的长是(    ).
题型:黑龙江省期末题难度:| 查看答案
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