(1)如图1,连接AF、CE,求证四边形AFCE为菱形,并求AF的长;
(2)如图2,动点P、Q分别从A、C两点同时出发,沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周,即点P自A→F→B→A停止,点Q自C→D→E→C停止,在运动过程中:
①已知点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒,当A、C、P、Q四点为顶点的四边是平行四边形时,求t的值;
③若点P、Q的运动路程分别为a、b(单位:cm,ab≠0),已知 A、C、P、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形,求a与b 满足的数量关系式.
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解:(1)证明:
①∵四边形ABCD是矩形,
∴AD//BC.
∴∠CAD=∠ACB, ∠AEF=∠CFE,
∵EF垂直平分AC,垂足为O,
∴OA=OC,
∴△AOE全等△COF,
∴OE= OF,
∴四边形AFCE为平行四边形,
又∵EF⊥AC,
∴四边形AFCE为菱形.
②设菱形的边长AF=CF=xcm,则BF=(8-x)cm,
在Rt△ABF中,AB=4cm,
由勾股定理得:42+ (8-x)2 =x2,
解得:x=5
∴ AF=5 cm-
(2)①显然当P点在AF上时,Q点在CD上
此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形;
同理P点在AB上时,Q点在DE或CE上,也不能构成平行四边形
因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时,才能构成平行四边形。
∴以 A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时.PC=QA.
∵点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t 秒,
∴PC=5t ,QA= 12-4t.
∴5t= 12-4t,
解得:
∴以 A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时
②由题意得,以 A、C、P、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时,点 P、Q在互相平行的对应边上,分三种情况:
i)如图1,当P点在AF 上、Q点在CE上时.AP= CQ,即a= 12 - b ,得a + b= 12.
ii)如图2,当P点在BF 上、Q点在DE上时.AQ= CP,即12 - b= a , 得a+ b= 12.
iii)如图3,当P点在AB 上、Q点在CD上时.AP= CQ,即12-a--=b,得 a+b=12.
综上所述,a 与b 满足的数量关系式是a十b=12(ab≠0).
(1)试探索AD满足什么条件时,四边形AEDF为菱形,并说明理由;
(2)在(1)的条件下△ABC满足什么条件时,四边形AEDF为正方形.为什么?
(3)在(1)、(2)的条件下当BE+CF=
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