题目

题型：江苏期中题难度：来源：

在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F。
（1）在图1中证明CE=CF；
（2）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数。

答案

解：（1）如图1，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，
∴∠CEF=∠F，
∴CE=CF；（2）分别连结GB、GE、GC（如图2）
∵AB//DC，∠ABC=120°，
∴∠ECF=∠ABC=120°，
∵FG//CE且FG=CE，
∴四边形CEGF是平行四边形，
∴CE=CF，
∴EG=EC，
∵∠GCF=∠GCE=∠ECF=60°，
∴△ECG是等边三角形，
∴EG=CG①
∠GEC=∠EGC=60°，
∴∠GEC=∠GCF，
∴∠BEG=∠DCG②
由AD//BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
在□ABCD中，AB=DC
∴BE=DC③
由①②③得△BEG ≌△DCG，
∴BG=DG，∠1=∠2，
∴∠BGD=∠1+∠3=∠2+∠3=∠EGC=60°，
∴∠BDG=（180°-∠BGD）=60°。