题目

题型：不详难度：来源：

邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作；……依次类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形，如图1，平行四边形中，若，则平行四边形为1阶准菱形。

（1）判断与推理：
① 邻边长分别为2和3的平行四边形是__________阶准菱形；
② 小明为了剪去一个菱形，进行如下操作：如图2，把平行四边形沿着折叠（点在上）使点落在边上的点，得到四边形，请证明四边形是菱形。
（2）操作、探究与计算：
① 已知平行四边形的邻边分别为1，裁剪线的示意图，并在图形下方写出的值；
② 已知平行四边形的邻边长分别为，满足，请写出平行四边形是几阶准菱形。

答案

（1）① 2②证明见解析（2）见解析

解析

解：（1）① 2                   …………1分
解析：邻边长分别为2和3的平行四边形减去边长为2的菱形后剩余的是边长为2和1的平行四边形，再减去边长为1的菱形后剩余的是边长为1的菱形，所以是2阶准菱形
② 证明：由折叠知：            ………………2分
∵四边形是平行四边形
∴
∴，∴
∴，∴                               ………………3分
∵，，∴四边形是平行四边形
∵，∴四边形是菱形                     ………………4分
（2）①
              ………………9分
② 10阶准菱形                                          ………………10分
解析：，则
则该平行四边形可以视作边长为的平行四边形和边长为的平行四边形拼接在一起。由①可知边长为的平行四边形是4阶准菱形，而边长为的平行四边形减去边长为的菱形后剩余边长为的平行四边形，再减去边长为的菱形后剩余边长为的平行四边形。边长为的平行四边形可以视作边长为的平行四边形和边长为的菱形拼接在一起，而边长为的平行四边形是4阶准菱形。所以该平行四边形是4+1+1+4=10阶准菱形。