已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB = AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE=45°.探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数 - 初中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB = AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE=45°.探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系。小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连结E"D，使问题得到解决。请你参考小明的思路探究并解决下列问题：
（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；
（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明。

答案

核心考点

试题【已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB = AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE=45°.探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数】；主要考察你对全等三角形的应用等知识点的理解。[详细]

举一反三

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解：（1） DE²=BD²+EC² 证明：根据△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE" ∴ △AEC≌△ABE" ∴ BE"=EC，A E"=AE ∠C=∠AB E" , ∠EAC=∠E"AB 在Rt△ABC中 ∵ AB=AC ∴ ∠ABC=∠ACB=45° ∴ ∠ABC+∠AB E"=90° 即 ∠E"BD=90° ∴ E"B²+BD²= E"D²又∵ ∠DAE=45° ∴ ∠BAD+∠EAC=45° ∴ ∠E"AB+∠BAD=45° 即 ∠E"AD=45° ∴ △A E"D≌△AED ∴ DE=DE" ∴ DE²=BD²+EC² （2）关系式DE²=BD²+EC²仍然成立证明：将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE ∴ △AFD≌△ABD ∴AF=AB， FD=DB ∠FAD=∠BAD，∠AFD=∠ABD 又∵AB=AC，∴AF=AC ∵∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠FAD+45° ∠EAC=∠BAC-∠BAE=90°-(∠DAE-∠DAB)= 45°+∠DAB ∴ ∠FAE=∠EAC 又∵ AE=AE ∴△AFE≌△ACE ∴ FE=EC ，∠AFE=∠ACE=45° ∠AFD=∠ABD=180°-∠ABC=135° ∴ ∠DFE=∠AFD-∠AFE=135°-45°=90° ∴在Rt△DFE中 DF²+FE²=DE² 即DE²=BD²+EC²
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE。

（1）求证：AC=AE；（2）求△ACD外接圆的半径。
已知：如图，AB∥ED，点F、点C在AD上， AB=DE，AF=DC. 求证：BC=EF

如图，折叠长方形的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm ，求AE的长。

用两个全等的等边△ABC和△ACD拼成如图的菱形ABCD。现把一个含60°角的三角板与这个菱形叠合，使三角板的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合。将三角板绕点A逆时针方向旋转。（1）当三角板的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F时（图a） ①猜想BE与CF的数量关系是__________________； ②证明你猜想的结论。（2）当三角板的两边分别与菱形的两边BC、CD的延长线相交于点E、F时（图b），连结EF，判断△AEF的形状，并证明你的结论。

如图所示，我市农科所有一块五边形的实验田，用于种植1号良种水稻进行实验，已知五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED=90°，AB=CD=AE=BC+DE=20米。（1）若每平方米实验田需要1号良种水稻25克，若在△ABC和△ADE实验田中种植1号良种水稻，问共需水稻1号良种多少克？（2）在该五边形实验田计划全部种上这种1号良种水稻，现有1号良种水稻9千克，问1号良种水稻是否够用，试通过计算加以说明。

解：（1） DE²=BD²+EC² 证明：根据△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE" ∴ △AEC≌△ABE" ∴ BE"=EC，A E"=AE ∠C=∠AB E" , ∠EAC=∠E"AB 在Rt△ABC中 ∵ AB=AC ∴ ∠ABC=∠ACB=45° ∴ ∠ABC+∠AB E"=90° 即 ∠E"BD=90° ∴ E"B²+BD²= E"D²又∵ ∠DAE=45° ∴ ∠BAD+∠EAC=45° ∴ ∠E"AB+∠BAD=45° 即 ∠E"AD=45° ∴ △A E"D≌△AED ∴ DE=DE" ∴ DE²=BD²+EC² （2）关系式DE²=BD²+EC²仍然成立证明：将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE ∴ △AFD≌△ABD ∴AF=AB， FD=DB ∠FAD=∠BAD，∠AFD=∠ABD 又∵AB=AC，∴AF=AC ∵∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠FAD+45° ∠EAC=∠BAC-∠BAE=90°-(∠DAE-∠DAB)= 45°+∠DAB ∴ ∠FAE=∠EAC 又∵ AE=AE ∴△AFE≌△ACE ∴ FE=EC ，∠AFE=∠ACE=45° ∠AFD=∠ABD=180°-∠ABC=135° ∴ ∠DFE=∠AFD-∠AFE=135°-45°=90° ∴在Rt△DFE中 DF²+FE²=DE² 即DE²=BD²+EC²
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE。

（1）求证：AC=AE；（2）求△ACD外接圆的半径。
已知：如图，AB∥ED，点F、点C在AD上， AB=DE，AF=DC. 求证：BC=EF

如图，折叠长方形的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm ，求AE的长。

用两个全等的等边△ABC和△ACD拼成如图的菱形ABCD。现把一个含60°角的三角板与这个菱形叠合，使三角板的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合。将三角板绕点A逆时针方向旋转。（1）当三角板的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F时（图a） ①猜想BE与CF的数量关系是__________________； ②证明你猜想的结论。（2）当三角板的两边分别与菱形的两边BC、CD的延长线相交于点E、F时（图b），连结EF，判断△AEF的形状，并证明你的结论。

如图所示，我市农科所有一块五边形的实验田，用于种植1号良种水稻进行实验，已知五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED=90°，AB=CD=AE=BC+DE=20米。（1）若每平方米实验田需要1号良种水稻25克，若在△ABC和△ADE实验田中种植1号良种水稻，问共需水稻1号良种多少克？（2）在该五边形实验田计划全部种上这种1号良种水稻，现有1号良种水稻9千克，问1号良种水稻是否够用，试通过计算加以说明。