题目

题型：河北省期末题难度：来源：

如图，已知△ABC三边长相等，和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为
h₁、h₂、h₃，△ABC的高为h．在图（1）中， 点P是边BC的中点，由S_△ABP+S_△ACP=S_△ABC得，可得又因为h₃=0，所以：．
图（2）~（5）中，点P分别在线段MC上、MC延长线上、△ABC内、△ABC外．
（1）请探究：图（2）~（5）中， h₁、h₂、h₃、h之间的关系；（直接写出结论）
（2）说明图（2）所得结论为什么是正确的；
（3）说明图（5）所得结论为什么是正确的．

答案

（1）图②-⑤ 中的关系依次是： h₁+h₂+h₃=h； h₁-h₂+h₃=h； h₁+h₂+h₃=h； h₁+h₂-h₃=h；
（2）图②中，h₁+h₂+h₃=h．连结AP，
则S_ΔAPB+S_ΔAPC=S_ΔABC．

又 h₃=0，AB=AC=BC， ∴ h₁+h₂+h₃==h；
（3）：图⑤中，h₁+h₂-h₃=h．连接PA、PB、PC，则S_ΔAPB+S_ΔAPC=S_ΔABC+S_ΔBPC．

又 AB=AC=BC， ∴h₁+h₂ =h+h₃．
∴ h₁+h₂-h₃=h