题目

题型：重庆市模拟题难度：来源：

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E，延长CD交BA的延长线于G，且DG=DE，AB=，CF=6。
（1）求线段CD的长；
（2）H在边BF上，且∠HDF=∠E，连接CH，求证：∠BCH=45°-∠EBC。

答案

解：（1）连接BD，
由∠ABC=90°，AD∥BC得∠GAD=90°，
又BF⊥CD，
∴∠DFE=90°，
又DG=DE，∠GDA=∠EDF，
∴△GAD≌△EFD，
∴DA=DF，
又BD=BD，
∴Rt△BAD≌Rt△BFD（HL），
∴BF=BA=，∠ADB=∠BDF，
又CF=6，
∴BC=，
又AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD
∴∠BDF=∠CBD
∴CD=CB=8；（2）∵AD∥BC，
∴∠E=∠CBF，
∵∠HDF=∠E，
∴∠HDF=∠CBF，
由（1）得，∠ADB=∠CBD，
∴∠HDB=∠HBD，
∴HD=HB，
由（1）得CD=CB，
∴△CDH≌△CBH，
∴∠DCH=∠BCH，
∴∠BCH=∠BCD=（90°-∠EBC）=45°-∠EBC。