题目
题型:模拟题难度:来源:
(1)如图1,若∠DAC=2∠ABC,AC=BC,四边形ABCD是平行四边形,则∠ABC=_______;
(2)如图2,若∠ABC=30°,△ACD是等边三角形,AB=3,BC=4,求BD的长;
(3)如图3,若∠ACD为锐角,作AH⊥BC于H,当BD2=4AH2+BC2时,∠DAC=2∠ABC是否成立?若不成立,请说明你的理由;若成立,证明你的结论。
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图1 图2 图3
答案
∵△ACD是等边三角形,
∴AD=AC,∠DAC=60°,
∵∠BAE=60°,
∴∠DAC+∠BAC=∠BAE+∠BAC,
即∠EAC=∠BAD,
∴△EAC≌△BAD,
∴EC=BD,
∵∠BAE=60°,AE=AB=3,
∴△AEB是等边三角形,
∴∠EBA=60°,EB=3,
∵∠ABC=30°,
∴∠EBC=90°,
∵∠EBC=90°,EB=3,BC=4,
∴EC=5,
∴BD=5;
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如图3,过点B作BE∥AH,并在BE上取BE=2AH,连接EA,EC,
并取BE的中点K,连接AK,
∵AH⊥BC于H,、
∴∠AHC=90°,
∵BE∥AH,
∴∠EBC=90°,
∵∠EBC=90°,BE=2AH,
∴EC2=EB2+BC2=4AH2+BC2,
∵BD2=4AH2+BC2,
∴EC=BD,
∵K为BE的中点,BE=2AH,
∴BK=AH,
∵BK∥AH,
∴四边形AKBH为平行四边形,
又∵∠EBC=90°,
∴四边形AKBH为矩形,
∴∠AKB=90°,
∴AK是BE的垂直平分线,
∴AB=AE,
∵AB=AE,EC=BD,AC=AD,
∴△EAC≌△BAD,
∴∠EAC=∠BAD,
∴∠EAC-∠EAD=∠BAD-∠EAD,
即∠EAB=∠DAC,
∵∠EBC=90°,∠ABC为锐角,
∴∠ABC=90°-∠EBA,
∵AB=AE,
∴∠EBA=∠BEA,
∴∠EAB=180°-2∠EBA,
∴∠EAB=2∠ABC,
∴∠DAC=2∠ABC。
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核心考点
试题【已知△ABC,以AC为边在△ABC外作等腰△ACD,其中AC=AD。(1)如图1,若∠DAC=2∠ABC,AC=BC,四边形ABCD是平行四边形,则∠ABC=_】;主要考察你对全等三角形的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线,请证明你的结论;
(2)连接BF、CE,若四边形BFCE是菱形,则△ABC中应添加一个条件是_________。
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⑵如果AF//CD,求证:四边形ADEF是菱形。
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①如图1,若∠BCA=90°,∠α=90°,则BE_____CF; EF_____|BE-AF|(填“>”,“<”或“=”);
②如图2,若0°<∠BCA<180°,请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件_____,使①中的两个结论仍然成立,并证明两个结论成立;
⑵如图3,若直线CD经过∠BCA的外部,∠α=∠BCA,请提出EF,BE,AF三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明)。
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