题目

题型：江苏模拟题难度：来源：

已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD，垂足为点E，点F在BD上，连接AF、EF。
⑴求证：AD=ED；
⑵如果AF//CD，求证：四边形ADEF是菱形。

答案

证明：（1）∵BC=CD，
∴∠CDB=∠CBD，
∵AD//BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ADB=∠CDB，
又∵AB⊥AD，BE⊥CD，
∴∠BAD=∠BED=90°，
于是，在△ABD和△EBD中，
∵∠ADB=∠CDB，∠BAD=∠BED，BD=BD，
∴△ABD≌△EBD，
∴AD=ED；
（2）∵AF//CD，
∴∠AFD=∠EDF，
∴∠AFD=∠ADF，即得AF=AD，
又∵AD=ED，
∴AF=DE，
于是，由AF//DE，AF=DE，
得四边形ADEF是平行四边形，
又∵AD=ED，
∴四边形ADEF是菱形。