题目
题型:辽宁省中考真题难度:来源:
探究:线段BM、MN、NC之间的关系,并加以证明。
说明:(1)如果你经历反复探索,没有找到解决问题的方法,请你把探索过程中的某种思路写出来(要求至少写3步);
(2)在你经历说明(1)的过程之后,可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件,完成你的证明。
①AN=NC(如图②);
②DM∥AC(如图③)。
附加题:若点M、N分别是射线AB、CA上的点,其它条件不变,再探线段BM、MN、NC之间的关系,在图④中画出图形,并说明理由。
答案
解:BM+CN=MN
证明:如图,延长AC至M1,使CM1=BM,连结DM1,
由已知条件知:∠ABC=∠ACB=60°,∠DBC=∠DCB=30°,
∴∠ABD=∠ACD=90°,
∵BD=CD,
∴Rt△BDM≌Rt△CDM1,
∴∠MDB=∠M1DC,DM=DM1,
∴∠MDM1=(120°-∠MDB)+∠M1DC=120°,
又∵∠MDN=60°,
∴∠M1DN=∠MDN=60°,
∴△MDN≌△M1DN,
∴MN=NM1=NC+CM1=NC+MB;
附加题: CN-BM=MN,
证明:如图,在CN上截取,使CM1=BM,连结DM1,
∵∠ABC=∠ACB=60°,∠DBC=∠DCB=30°,
∴∠DBM=∠DCM1=90°,
∵BD=CD,
∴Rt△BDM≌Rt△CDM1,
∴∠MDB=∠M1DC,
DM=DM1,
∵∠BDM+∠BDN=60°,
∴∠CDM1+∠BDN=60°,
∴∠NDM1=∠BDC-(∠M1DC+∠BDN)=120°-60°=60°
∴∠M1DN=∠MDN,
∵AD=AD,
∴△MDN≌△M1DN,
∴MN=NM1=NC-CM1=NC-MB。
核心考点
试题【操作:如图①,△ABC是正三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,以D为顶点作一个60°角,角的两边分别交AB、AC边于M、N两点,连接MN。探究】;主要考察你对全等三角形的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(2)若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转,使正方形CDEF的一边落在△ABC的内部,请你画出一个变换后的图形,并对照已知图形标记字母,题(1)中猜想的结论是否仍然成立?若成立,直接写出结论,不必证明;若不成立,请说明理由。
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