题目

题型：湖南省期末题难度：来源：

如图所示，在等边中△ABC，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，如图（1），然后将△ADE绕A点顺时针旋转120°，使B、A、E三点在同一直线上，得到图（2），M、N分别是BD、CE的中点，连接AM、AN、MN得到图（3），请解答下列问题：
（1）在图（2）中，线段BD与线段CE的大小关系是 _________ ；
（2）在图（3）中，△AMN与△ABC是相似三角形吗？请证明你的结论．

答案

解：（1）BD=CE； 理由：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
在图（1）中，∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ADE是等边三角形，
∵△ADE绕A点顺时针旋转120°，使B、A、E三点在同一直线上，
∴如图（2），AD=AE，∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE；
（2）△AMN与△ABC相似．
证明：∵M、N分别是BD、CE的中点，
∴EN=CE，DM=BD，
∵BD=CE，
∴EN=DM，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠AEN=∠ADM，
在△ADM和△AEN中，，
∴△ADM≌△AEN（SAS），
∴AM=AN，∠MAD=∠NAE，
∴∠MAN=∠DAE=60°，
∴△AMN也是等边三角形，
∴△AMN∽△ABC．