题目

题型：江苏期末题难度：来源：

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例：如图1，△ABC是等边三角形，点M是边BC的中点，∠AMN=60°，且MN交三角形外角的平分线CN于点N．求证：AM=MN．
思路点拨：取的AB中点P，连结PM 易证△APM ≌△MCQ 从而AM=MN．
问题解决：
（1）如图2，四边形ABCD是正方形，点M是边BC的中点，CN是正方形 ABCD的外角∠DCQ的平分线．
        ①填空：当∠AMN = __________ °时，AM=MN；
        ②证明①的结论．
（2）请根据例题和问题（1）的解题过程，在正五边形ABCDE中推广出一个类似的真命题．（请在图3中作出相应图形，标注必要的字母，并写出已知和结论，无需证明．）

答案

（1）①填空：当∠AMN =90°时，AM=MN；
         ②证明：取的AB中点P，连结PM
              ∵四边形ABCD是正方形
              ∴∠PAM +∠AMB =90°
              ∵∠AMN =90° 
              ∴∠CMN+∠AMB =90°
             ∴∠PAM = CMN
             ∵点M是边BC的中点 点P是边AB的中点 AB=BC
             ∴AP=MC BP=BM
             ∵∠B =90° 
             ∴△BPM是等腰直角三角形
             ∴∠BPM =45°
             ∴∠APM =135°
             ∵∠DCB =90° 
             ∴∠DCQ =90°
             ∴∠NCQ =45°
             ∴∠MCN =135°
             ∴∠APM =∠MCN 
             ∴△APM ≌△MCQ 
             ∴AM=MN．（2）正五边形ABCDE中点M是边BC的中点，CN是正五
      边形ABCDE的外角∠DCQ的平分线，当∠AMN =108°．
  求证：AM=MN．