题目

题型：专项题难度：来源：

如图所示，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，D是BC的中点，连结DO并延长到F使AF=OC。
（1）写出图中所有全等的三角形（不用证明）；
（2）探究；当∠B等于多少度时，四边形OCAF是菱形？请回答并给予证明。

答案

解：（1）△ODB≌△ODC，△AOF≌△OAC；
（2）当∠B=30°时，四边形OCAF是菱形，
证明：由题意可知∠BCA=90°
∵∠B=30°
∴∠BAC=60°，
又OC=OA，
∴△OAC是等边三角形，
∴CA=OC=OA，
又∵D、O分别是BC、BA的中点，
∴DO∥CA，
∴∠CAB=∠AOF=60°
而OC=OA=AF，
∴△OAF是等边三角形，
∴AF=OA=OF，
∴OC=CA=AF=OF，
∴四边形OCAF是菱形。