题目

题型：山东省中考真题难度：来源：

如图，已知正方形OABC在直角坐标系xOy中，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点O在坐标原点，等腰直角三角板OEF的直角顶点O在原点，E、F分别在OA、OC上，且OA=4，OE=2，将三角板OEF绕O点逆时针旋转至OE₁F₁的位置，连结CF₁，AE₁。
（1）求证：△OAE₁≌△OCF₁；
（2）若三角板OEF绕O点逆时针旋转一周，是否存在某一位置，使得OE∥CF，若存在，请求出此时E点的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）∵四边形OABC为正方形，
∴OC=OA
∵三角板OEF是等腰直角三角形，
∴
又三角板OEF绕O点逆时针旋转至的位置时， 
∴；
（2）存在，
∵，
∴过点F与OE平行的直线有且只有一条，并与OF垂直，
又当三角板OEF绕点O逆时针旋转一周时，则点F在以O为圆心，以OF为半径的圆上，，
∴过点F与OF垂直的直线必是圆O的切线，又点C是圆外一点，过点C与圆O相切的直线有且只有2条，不妨设为和
此时，E点分别在E₁点和E₂点，满足，

当切点F₁在第二象限时，点E₁在第一象限，
在直角三角形中，
 
∴
∴
∴点E₁的横坐标为：
点E₁的纵坐标为：
∴点E₁的坐标为，
当切点F₂在第一象限时，点E₂在第四象限，同理可求：点E₂的坐标为，
综上所述，三角板OEF绕点O逆时针旋转一周，存在两个位置，使得，此时点E的坐标为或。