题目

题型：广东省竞赛题难度：来源：

如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，D为AC上一点，CE⊥BD于E．
（1）若BD平分∠ABC，求证CE=BD；
（2）若D为AC上一动点，∠AED如何变化？若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由．

答案

解：（1）延长BA、CE相交于点F，先证△BEC≌△BEF（ASA），
∴CE=FE，
∴CE=CF，
∵∠BAC是直角，
∴∠BAD=∠CAF=90°，而∠F+∠FBE=∠FCA+∠F=90°，
∴∠ACF=∠FBE，
又∵AC=AB，
∴△BAD≌△CAF（ASA），
∴BD=CF，即CE=BD．
（2）∠AEB不变为45°．
理由如下：法一：过点A作AH⊥BE垂足为H，作AG⊥CE交CE延长线于G，
先证∠ACF=∠ABD，得△BAH≌△CAG（AAS）
∴AH=AG，而AH⊥EB，AG⊥EG，
∴EA平分∠BEF，
∴∠BEA=∠BEG=45°．
法二：由（1）证得△BAD≌△CAF（ASA），
△BAD的面积=△CAF的面积，
∴BDAH=CFAG，而BD=CF，
∴AH=AG，而AH⊥EB，AG⊥EG，
∴EA平分∠BEF，∴∠BEA=∠BEG=45°．