题目

题型：河北省中考真题难度：来源：

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=6，BC=8，AB=3，点M是BC的中点，点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动，在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧，点P，Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止。设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）。
（1）设PQ的长为y，在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式（不必写t的取值范围）；
（2）当BP=1时，求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积；
（3）随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△EPQ覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t的取值范围；若不能，请说明理由。

答案

解：（1）y=2t；
（2）当BP=1时，有两种情形：
①如图6，若点P从点M向点B运动，有MB=BC=4，MP=MQ=3，
∴PQ=6，连接EM，
∵△EPQ是等边三角形，
∴EM⊥PQ，
∴EM=3，
∵AB=3，
∴点E在AD上，
∴△EPQ与梯形ABCD重叠部分就是△EPQ，其面积为9；
②若点P从点B向点M运动，由题意得t=5，
PQ=BM+MQ-BP=8，PC=7，
设PE与AD交于点F，QE与AD或AD的延长线交于点G，
过点P作PH⊥AD于点H，则HP=3，AH=1，
在Rt△HPF中，∠HPF=30°，
∴HF=3，PF=6，
∴FG=FE=2，又∵FD=2，
∴点G与点D重合，
如图7，此时△EPQ与梯形ABCD的重叠部分就是梯形FPCG，
其面积为；
（3）能，4≤t≤5。