题目

题型：四川省期末题难度：来源：

（1）如图①、图②，△ABC是等边三角形，点M是边BC上任意一点，N是BA上任意一点，且BN=CM，AM与CN相交于Q，先用量角器测量图①、图②中∠CQM的度数，并用图②证明你的猜想．猜想：∠CQM=______度．证明：
（2）如图③，若M是CB延长线上一点，N是BA延长线上一点，仍然满足△ABC为等边三角形，CM=BN，相交于Q，则（1）中猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

答案

解：（1）∠CQM为60°．理由：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠B=∠CAN=60°，
∵BN=CM，
∴AN=BM，
∴△ABM≌△CAN，
∴∠QCA=∠BAM，
∵∠CQM=∠QAC+∠QCA，
∴∠CQM=∠QAC+∠QCA=∠QAC+∠BAM=∠BAC=60°；
（2）成立．理由：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=60°，
∵CM=BN，
∴△BNC≌△CMQ，
∴∠N=∠M，
∵∠CQM=∠N+∠NAQ，
∴∠CNM=∠M+∠MAB=∠ABC=60°．