题目

题型：不详难度：来源：

如图，已知：△ABC为等边三角形，D、F分别为射线BC、射线AB边上的点，BD=AF，以AD为边作等边△ADE．
（1）如图①所示，当点D在线段BC上时：
①试说明：△ACD≌△CBF；②判断四边形CDEF的形状，并说明理由；
（2）如图②所示，当点D在BC的延长线上时，判断四边形CDEF的形状，并说明理由．
（3）当点D在射线BC上移动到何处时，∠DEF=30°，并说明理由．

答案

（1）①∵△ABC、△ADE是等边三角形，
∴∠ACD=∠B=∠BAC=60°，∠ADE=60°，AD=DE，AC=BC=AB，
∵BD=AF，
∴CD=BF，
∵在△ACD和△CBF中，

AC=BC ∠ACD=∠B CD=BF

，
∴△ACD≌△CBF（SAS），
②判断四边形CDEF的形状是平行四边形，理由是：
∵△ACD≌△CBF，
∴∠BCF=∠DAC，AD=CF，
∵AD=DE，
∴DE=CF，
∵∠ACD=∠ADE=60°，∠ADB=∠ADE+∠BDE=∠ACD+∠DAC，
∴60°+∠DAC=60°+∠BDE，
∴∠DAC=∠BDE，
∵∠BCF=∠DAC，
∴∠BDE=∠BCF，
∴DE∥CF，
∵DE=CF，
∴四边形CDEF的形状是平行四边形；

（2）四边形CDEF的形状是平行四边形，
理由是：∵∠ACB=∠ABC=60°，
∴∠ACD=∠FBC=120°，
∵BD=AF，BC=AB，
∴CD=BF，
∵在△FBC和△DCA中，

BC=AC ∠FBC=∠DCA BF=CD

，
∴△FBC≌△DCA（SAS），
∴∠DAC=∠BCF，FC=AD，
∵AD=DE，
∴FC=DE，
∵∠ACB=60°=∠DAC+∠ADC=∠BCF+∠ADC，
∠ADE=60°=∠ADC+∠CDE，
∴∠BCF=∠EDC，
∴CF∥DE，
∵FC=DE，
∴四边形CDEF是平行四边形；

（3）点D在边BC的中点上时，∠DEF=30°，
理由是：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵点D在边BC的中点上，
∴∠DAC=

1

2

∠BAC=30°，
∴∠BCF=∠DAC=30°，
∵四边形CDEF是平行四边形，
∴∠DEF=∠DCF=30°，
即点D在边BC的中点上时，∠DEF=30°．