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题目
题型:海淀区难度:来源:
已知△ABC,分别以AB、BC、CA为边向形外作等边三角形ABD、等边三角形BCE、等边三角形ACF.
(1)如图1,当△ABC是等边三角形时,请你写出满足图中条件,四个成立的结论;
(2)如图2,当△ABC中只有∠ACB=60°时,请你证明S△ABC与S△ABD的和等于S△BCE与S△ACF的和.魔方格
答案

魔方格
(1)DE=EF,DF=EF,∠D=∠E=∠F,A、B、C分别为DF、DE、EF的中点.

(2)证明:过A作AMFC交BC于M,连接DM、EM,
∵∠ACB=60°,∠CAF=60°,
∴∠ACB=∠CAF,
∴AFMC,
∴四边形AMCF是平行四边形,
又∵FA=FC,
∴四边形AMCF是菱形,
∴AC=CM=AM,且∠MAC=60°,
∵在△BAC与△EMC中,
CA=CM,∠ACB=∠MCE,CB=CE,
∴△BAC≌△EMC,
∵∠DAM=∠DAB+∠BAM=60°+∠BAM
∠BAC=∠MAC+∠BAM=60°+∠BAM
∴∠BAC=∠DAM
在△ABC和△ADM中
AB=AD,∠BAC=∠DAM,AC=AM
∴△ABC≌△ADM(SAS)
故△ABC≌△MEC≌△ADM,
在CB上截取CM,使CM=CA,
再连接AM、DM、EM (辅助线这样做△AMC就是等边三角形了,后边证明更简便)
易证△AMC为等边三角形,
在△ABC与△MEC中,
CA=CM,∠ACB=∠MCE,CB=CE,
∴△ABC≌△MEC(SAS),
∴AB=ME,∠ABC=∠MEC,
又∵DB=AB,
∴DB=ME,
∵∠DBC=∠DBA+∠ABC=60°+∠ABC,
∠BME=∠BCE+∠MEC=60°+∠MEC,
∴∠DBC=∠BME,
∴DBME,
即得到DB与ME平行且相等,故四边形DBEM是平行四边形,
∴四边形DBEM是平行四边形,
∴S△BDM+S△DAM+S△MAC=S△BEM+S△EMC+S△ACF
即S△ABC+S△ABD=S△BCE+S△ACF
核心考点
试题【已知△ABC,分别以AB、BC、CA为边向形外作等边三角形ABD、等边三角形BCE、等边三角形ACF.(1)如图1,当△ABC是等边三角形时,请你写出满足图中条】;主要考察你对等边三角形性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,△ABD、△AEC都是等边三角形,求证:BE=DC.魔方格
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在等腰梯形ABCD中,ADBC,AD=6,AB=8,∠B=60°,BC=______.
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如图,将两个完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起,则拼接后的△ABD的形状是______.魔方格
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如图所示,在等边三角形ABC中,∠B、∠C的平分线交于点O,OB和OC的垂直平分线交BC于E、F,试用你所学的知识说明BE=EF=FC的道理.魔方格
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如图1,点P是线段AB的中点,分别以AP和BP为边在线段AB的同侧作等边三角形APC和等边三角形BPD,连接CD,得到四边形ABDC.
(1)在图1中顺次连接边AC、AB、BD、CD的中点E、F、G、H,则四边形EFGH的形状是______;
(2)如图2,若点P是线段AB上任一点,在AB的同侧作△APC和△BPD,使PC=PA,PD=PB,∠APC=∠BPD,连接CD,得四边形ABDC,则(1)中结论还成立吗?说明理由;
(3)如图3,若点P是线段AB外一点,在△APB的外部作△APC和△BPD,使PC=PA,PD=PB,且∠APC=∠BPD=90°,请你先补全图3,再判断四边形EFGH的形状,并说明理由.

魔方格
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