题目

题型：北京期末题难度：来源：

已知：如下图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°。点D为△ABC内一点，且DB=DC，∠DCB=30°。点E为BD延长线上一点，且AE=AB。
（1）求∠ADE的度数；
（2）若点M在DE上，且DM=DA，求证：ME=DC。

答案

解：（1）如下图：

∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，
∴∠ABC=∠ACB==75°
∵DB=DC，∠DCB=30°，
∴∠DBC=∠DCB=30°
∴∠1=∠ABC－∠DBC=75°－30°=45°
∵AB=AC，DB=DC，
∴AD所在直线垂直平分BC，
∴AD平分∠BAC，
∴∠2=∠BAC==15°
∴∠ADE=∠1＋∠2 =45°＋15°=60°；
（2）连接AM，取BE的中点N，连接AN。如下图：

∵△ADM中，DM=DA，∠ADE=60°，
∴△ADM为等边三角形，
∵△ABE中，AB=AE，N为BE的中点，
∴BN=NE，且AN⊥BE，
∴DN=NM，
∴BN－DN =NE－NM，
即 BD=ME，
∵DB=DC，
∴ME = DC。