题目

题型：湖北省中考真题难度：来源：

如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。
解答下列问题：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为_____，数量关系为______。
②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动。
试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由。（画图不写作法）
（3）若AC=4，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值。

答案

（1）①CF⊥BD，CF=BD
②成立，理由如下：
∵∠FAD=∠BAC=90°
∴∠BAD=∠CAF
又BA=CA AD=AF
∴△BAD≌△CAF
∴CF=BD，∠ACF=∠ACB=45°
∴∠BCF=90°
∴CF⊥BD ；（2）当∠ACB=45°时可得CF⊥BC，理由如下：
如图：过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G
则∵∠ACB=45°
∴AG=AC，∠AGC=∠ACG=45°
∵AG=AC，AD=AF
∴△GAD≌△CAF（SAS）
∴∠ACF=∠AGD=45°
∴∠GCF=∠GCA+∠ACF=90°
∴CF⊥BC。
（3）如图：作AQBC于Q
∵∠ACB=45°，AC=4
∴CQ=AQ=4
∵∠PCD=∠ADP=90°
∴∠ADQ+∠CDP=∠CDP+∠CPD=90°
∴△ADQ∽△DPC

设CD为x（0＜x＜3）
则DQ=CQ-CD=4-x
则

当x=2时，PC最长，此时PC=1。