题目

题型：北京中考真题难度：来源：

在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为AC的中点。
（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连结CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H。判断FH与FC的数量关系并加以证明；
（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明。

答案

解：（1）FH与FC的数量关系是：FH=FC；
证明：延长交于点G，
由题意，知∠EDF=∠ACB=90°，DE=DF，
∴DG∥CB，
∵点D为AC的中点，
∴点G为AB的中点，且DC=AC，
∴DG为△ABC的中位线，
∴，
∵AC=BC，
∴DC=DG，
∴DC-DE=DG-DF，即EC=FG，
∵∠EDF=90°，FH⊥FC，
∴∠1+∠CFD=90°，∠2+∠CFD=90°，
∴∠1=∠2，
∵△DEF与△ADG都是等腰直角三角形，
∴∠DEF=∠DGA=45°，
∴∠CEF=∠FGH=135°，
∴△CEF≌△FGH，
∴CF=FH；
（2）FH与FC仍然相等。