题目

题型：不详难度：来源：

如图，AB是圆O的直径，AB=10，点C是圆O上一动点（与A，B不重合），∠ACB的平分线交圆O于D．
（1）判断△ABD的形状，并证明你的结论；
（2）若I是△ABC的内心，当点C运动时，CI、DI中是否存在长度保持不变的线段？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．

答案

（1）△ABD是等腰直角三角形．理由如下：
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴

AD

=

BD

，
∴AD=BD，
∴△ABD是等腰直角三角形；

（2）DI的长度不变，且DI=5

2

在Rt△ABD中，
∵AD=BD，AB=10，
∴BD=5

2

，
连接OI，
∵I是△ABC的内心，
∴∠4=∠5，
∵由（1）可知

AD

=

BD

，
∴∠1=∠2，
∵∠3是△BCI的外角，
∴∠3=∠1+∠4=∠2+∠5，
∴DI=BD是定值，即DI=BD=5

2

．