题目

题型：不详难度：来源：

△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．


（1）试证明：△CEF为直角三角形．
（2）试证明：OE=OF．
（3）当点O运动到线段AC的中点时，四边形AECF是否是矩形？并证明．
（4）在（3）的条件下，当△ABC为直角三角形且∠ACB=90°，试猜想四边形AECF是什么四边形，并证明．

答案

（1）证明：∵∠ACB的平分线CE，∠ACB的外角平分线CF，
∴∠ECF=

1

2

×180°=90°，
∴△CEF是直角三角形．

（2）证明：∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠ECB，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∴∠OCE=∠OEC，
∴OC=OE，
同理OC=OF，
∴OE=OF．

（3）答：当点O运动到线段AC的中点时，四边形AECF是矩形，
证明：∵OE=OF，OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵OC=OE=OF=OA，
∴AC=EF，
∴四边形AECF是矩形．

（4）答：四边形AECF是正方形．
证明：∵∠ACB=90°，CE平分∠ACB，
∴∠ACE=45°，
∵∠E=90°，
∴∠EAC=45°=∠ACE，
∴AE=CE，
∵四边形AECF是矩形，
∴四边形AECF是正方形．