题目

题型：不详难度：来源：

【提出问题】
如图①，在梯形ABCD中，AD//BC，AC、BD交于点E，∠BEC＝n°，若AD＝a，BC＝b，则梯形ABCD的面积最大是多少？
【探究过程】
小明提出：可以从特殊情况开始探究，如图②，在梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥BD，若AD＝3，BC＝7，则梯形ABCD的面积最大是多少？
如图③，过点D做DE//AC交BC的延长线于点E，那么梯形ABCD的面积就等于△DBE的面积，求梯形ABCD的面积最大值就是求△DBE的面积最大值．如果设AC＝x，BD＝y，那么S_△DBE＝xy．
以下是几位同学的对话：
A同学：因为y＝，所以S_△DBE＝x，求这个函数的最大值即可．
B同学：我们知道x²＋y²＝100，借助完全平方公式可求S_△DBE＝xy的最大值
C同学：△DBE是直角三角形，底BE＝10，只要高最大，S_△DBE就最大，我们先将所有满足BE＝10的直角△DBE都找出来，然后在其中寻找高最大的△DBE即可．

（1）请选择A同学或者B同学的方法，完成解题过程．
（2）请帮C同学在图③中画出所有满足条件的点D，并标出使△DBE面积最大的点D₁．（保留作图痕迹，可适当说明画图过程）
【解决问题】
根据对特殊情况的探究经验，请在图①中画出面积最大的梯形ABCD的顶点D₁，并直接写出梯形ABCD面积的最大值．

答案

（1）25；（2）如下图；（3）如下图，S_梯形ABCD最大值为：

解析

试题分析：（1）选择A同学，由S_△DBE＝＝即可作出判断；选择B同学，根据三角形的面积公式即可作出判断；
（2）（3）先根据题意作出恰当的图形，即可求得结果.
（1）选择A同学．
S_△DBE＝＝，
当x²＝50，即x＝5，S_△DBE取最大值25．
选择B同学．
方法一：S_△DBE＝xy＝×2xy≤（x²＋y²）＝25
当x＝y＝5时，S_△DBE取最大值25．
方法二：S_△DBE＝xy＝[（x²＋y²）－（x－y）²]＝ [100－（x－y）²]，
当（x－y）²＝0，即x＝y＝5时，S_△DBE取最大值25；
（2）如图所示，点D₁即为所求的点

（3）如图所示：
S_梯形ABCD最大值为：
点评：此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.