题目

题型：浙江省期末题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点为原点，为上一点，把沿折叠，使点恰好落在边上的点处，点的坐标分别为和．
（1）求点的坐标；
（2）求所在直线的解析式；
（3）设过点的抛物线与直线的另一个交点为，问在该抛物线上是否存在点，使得为等边三角形．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

（1）根据题意，得，
    ∵，
    ． 
    ∴点C的坐标是；
（2），设，
  则，，
  
  在中，．
   ．
  解之，得，
  即E点的坐标是．
  设DE所在直线的解析式为， 
  
  解之，得
  DE所在直线的解析式为；
（3）∵点在抛物线上，
   ．即抛物线为．
 假设在抛物线上存在点G，使得为等边三角形，
 根据抛物线的对称性及等边三角形的性质，得点G一定在该抛物线的顶点上．
  设点G的坐标为，
   ，，
  即点G的坐标为．
  设对称轴与直线交于点F，与x轴交于点．
  则F点的坐标为．
   ，点G在y轴的右侧，
    ，． 
   
  在中，，
   ．
  解之，得．
   ，．
   ∴点G的坐标为． 
   ∴在抛物线上存在点G，使得为等边三角形．