题目

题型：上海月考题难度：来源：

如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（-3，0）、（0，4），抛物线y=x²+bx+c经过B点，且顶点在直线x=上。
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由。
（3）若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N。设点M的横坐标为t，MN的长度为l。求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标。

答案

解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为y=+m
∴4=×（-）²+m
∴m=-
所求函数关系式为y=-=x²-x+4；
（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4
∴
∵四边形ABCD是菱形
∴BC=CD=DA=AB=5
∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）
当x=5时，y=+4=4
当x=2时，y=+4=0
∴点C和点D在所求抛物线上；
（3）设直线CD对应的函数关系式为，则
解得：k=，b=-
∴y=x-
∵MN∥y轴，M点的横坐标为t
∴N点的横坐标也为t
则y_M=+4
y_N=
∴l=y_N-y_M=-
∵-<0
∴当t=时，l_最大=
此时点M的坐标为（，）。