题目

题型：河北省模拟题难度：来源：

已知点H（-1，2）在二次函数y=x²-2x+m的图象C₁上。
（1）求m的值；
（2）若抛物线C₂：y=ax²+bx+c与抛物线C₁关于y轴对称，且Q₁（-2，q₁）、Q₂（-3，q₂）在抛物线C₂上，则q₁q₂（用“=”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”填空）。
（3）设抛物线C₂的顶点为M，抛物线C₁的顶点为N，请问在抛物线C₁或C₂上是否存在点P，使以点P、M、N为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

答案

解：（1）∵点H（-1，2）在抛物线上，
∴2=（-1）²-2×（-1）+m，
∴m=-1；
（2）q₁＜q₂，
由（1）知，C₁：==，
∴C₁的对称轴为：直线x=1，顶点坐标为：（1，-2），
∵抛物线C₂：与C₁：关于y轴对称，
∴C₂的解析式为：，，
又∵Q₁（-2，q₁），Q₂（-3，q₂）在抛物线C₂上，且在对称轴x=-1的左侧，
∴q₁＜q₂；
（3）存在这样的点P，使以P，M，N为顶点的三角形是直角三角形，
由上述可知：M（-1，-2），N（1，-2），
① 当M为直角顶点时，点P在C₁上，
当x=-1时，y=2，
∴P（-1，2）；
② 当N为直角顶点时，点P在C₂上，
当x=1时，y=2，
∴P（1，2）；
③ 当P为直角顶点时，P（0，-1）；
综上可知：点P的坐标为（-1，2）或（1，2）或（0，-1）。