题目

题型：北京中考真题难度：来源：

在ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E，将线段EC绕点E逆时针旋转90°得到线段EF（如图（1））。
（1）在图（1）中画图探究：
①当P₁为射线CD上任意一点（P₁不与C点重合）时，连接EP₁，将线段EP₁绕点E逆时针旋转90°得到线段EG₁，判断直线FG₁与直线CD的位置关系并加以证明；
②当P₂为线段DC的延长线上任意一点时，连接EP₂，将线段EP₂绕点E逆时针旋转90°得到线段EG₂，判断直线G₁G₂与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论；
（2）若AD=6，tanB=，AE=1，在①的条件下，设CP₁=x，=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。

答案

解：（1）①直线FG，与直线CD的位置关系为互相垂直，
证明：如图（1），设直线FG，与直线CD的交点为H，
∵线段EC、EP₁分别绕点E逆时针旋转90°依次得到线段EF、EG₁，
∴∠P₁EG₁=∠CEF=90°，EG₁=EP₁，EF=EC，
∵∠G₁EF=90°-∠P₁EF，∠P₁EC=90°-∠P₁EF，
∴∠G₁EF=∠P₁EC，
∴△G₁EF≌△P₁EC
∴∠G₁FE=∠P₁CE，
∵EC⊥CD，
∴∠P₁CE=90°
∴∠G₁FE=90°，∠EFH=90°
∴∠FHC=90°
∴FG₁⊥CD；
②按题目要求所画图形见图（1），直线G₁G₂与直线CD的位置关系为互相垂直；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠ADC，
∵AD=6，AE=1，tanB=，
∴DE=5，tan∠EDC=tanB=，
可得CE=4，由（1）可得四边形FECH为正方形，
∴CH=CE=4，
①如图（2），当P₁点在线段CH的延长线上时，
∵FC₁=CP₁=x，P₁H=x-4，
∴，
∴；
②如图（3），当P₁点在线段CH上（不与C、H两点重合）时，
∵FG₁=CP₁=x，P₁H=4-x，
∴，
∴；
③当P₁点与H点重合时，即x=4时，
△P₁FG₁不存在；
综上所逑，y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围是或+2x（0<x<4）。